一口气读完一本书

《哈小浪上学记2：全能人气王》以哈小浪和他的十二只个性萌狗小伙伴们的学习成长经历为主要内容，通过十五个单元小故事，演绎了一段充满欢乐与惊喜的校园生活。在这些故事中，哈小浪和他的伙伴们展现出了勇敢、善良、自信、宽容、坚毅、团结等闪光品质，让每个小读者都能从他们身上找到自己的影子，产生共鸣，发现自己的闪光点，从而爱上校园生活。

哈小浪是一个充满活力和个性的角色。他在学校里展现出了各种才能，无论是学习、运动还是艺术，都有着出色的表现，成为了名副其实的全能人气王。

这本书不仅让我感受到了校园生活的欢乐与温暖，还教会了我很多宝贵的道理。

它让我明白，要勇敢地展现自己的特长和才华，不要害怕被他人评价。只有积极参与，才能发现自己的潜力，收获更多的成长和快乐。

书中的插画也非常精美，生动地展现了哈小浪和他的小伙伴们的形象，让我更加沉浸在故事之中。

如果你也想体验充满欢乐和惊喜的校园生活，不妨来读一读《哈小浪上学记 2：全能人气王》吧！

漫话线性代数：线性变换的几何解释

，由 DeepSeek-R1 满血版支持，

网购了一本书，说的是线性代数的几何解释。一口气读完，感觉这部书有些贪多了，什么细节都要弄个几何解释，不免让琐碎的细节把关键性的主题给遮掩了。所以萌生一个念头，把线性代数的核心概念和理论和语言梳理一下，帮助初学者深入理解这些内容。

搞清楚线性变换的几何解释，是理解线性代数关键中的关键。

我们刚学习向量的时候，往往首先接触的是行向量。其实，线性代数喜欢列向量。使用列向量，可以更容易理解线性代数的几何意义。

我们从一个平面直角坐标系开始。假设平面直角坐标系的两个坐标轴的基向量分别是 e ⃗ 1 , e ⃗ 2 ec e_1, ec e_2 e ⃗ 1 = [ 1 0 ] , e ⃗ 2 = [ 0 1 ] (1) ag1 ec e_1 = left [ egin{array}{l} 1\ 0\ end{array} ight], ec e_2 = left [ egin{array}{l} 0\ 1\ end{array} ight]

x ⃗ ec x x ⃗ = [ x 1 x 2 ] (2) ag2 ec x= left[ egin{array}{l} x_1\ x_2\ end{array} ight]

x ⃗ = e ⃗ 1 ⋅ x 1 + e ⃗ 2 ⋅ x 2 (3) ag3 ec x = ec e_1 cdot x_1 + ec e_2 cdot x_2

x ⃗ 1 = [ 1 0 0 1 ] [ x 1 x 2 ] (4) ag4 ec x_1= left[ egin{array}{l} 1 & 0 \ 0 & 1 \ end{array} ight] left[ egin{array}{l} x_1\ x_2\ end{array} ight]

假设我们把上述直角坐标系做一个仿射变换，把这个坐标系所有的点投影到新的坐标系中，坐标原点仍然投影到新坐标系的 ( 0 , 0 ) (0,0) e ⃗ 1 , e ⃗ 2 ec e_1, ec e_2 投影后的坐标为：

e ⃗ 1 = [ a 11 a 21 ] , e ⃗ 2 = [ a 12 a 22 ] (5) ag5 ec e_1 = left [ egin{array}{l} a_{11}\ a_{21}\ end{array} ight], ec e_2 = left [ egin{array}{l} a_{12}\ a_{22}\ end{array} ight]

x ⃗ ec x e ⃗ 1 , e ⃗ 2 ec e_1, ec e_2 的关系仍然符合 (3) 式，显而易见， x ⃗ ec x 在新的坐标系下的坐标满足下面的关系： [ y 1 y 2 ] = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] [ x 1 x 2 ] (6) ag6 left[ egin{array}{l} y_1\ y_2 end{array} ight]= left[ egin{array}{l} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \ end{array} ight] left[ egin{array}{l} x_1\ x_2\ end{array} ight]

原来，线性变换用来计算一个直角坐标系经过仿射变换后，原坐标系向量 ( x 1 , x 2 ) T (x_1,x_2)^T ( y 1 , y 2 ) T (y_1,y_2)^T 。其实这个仿射变换，就是我们讨论的线性变换。

换句话讲，线性变换矩阵，实际上就是由原直角坐标系的基向量在线性变换之后的坐标组合而成的。也就是说，(6)式的本质就是下面的形式： [ y 1 y 2 ] = [ a 11 a 21 ] x 1 + [ a 12 a 22 ] x 2 (7) ag7 left[ egin{array}{l} y_1\ y_2 end{array} ight]= left[ egin{array}{l} a_{11}\ a_{21} \ end{array} ight] x_1+ left[ egin{array}{l} a_{12} \ a_{22} \ end{array} ight] x_2

一口气读完一本书

《秋园》完稿后，在杂志社任职的二女儿章红，将小说发布在天涯论坛上。杨本芬原以为不会有人看，结果很多读者在帖子下面留言，母亲的一生能被更多人看到和记住，让她感到高兴和欣慰。

为了能及时回复读者留言，杨本芬学会了打字和上网。留言激励着她继续写作，“那么多人等着看，一直催更，我再不写对不住人家。”

17年来，这部作品在论坛的反响很好，却一直没有机会出版。

如果我们能够从高处俯视我们每一世的人生，正如阿罗汉们能够做到的那样，我们会惊讶地发现，曾有那么多不可思议的快乐和悲伤。

曾有那么多人渴望得到你的爱，你也曾渴望得到那么多人的爱。你们为爱疯狂，争吵，甚至自杀，这就是我们如何在玩轮回的游戏。

不只是爱情，记住一切都很短暂，你要这样想：或许这是我喝的最后一杯咖啡，或许这是我读的最后一本书。当你时刻生起这种警觉，才能真正去享受和爱，否则，我们永远都在考虑下一件事，而无法真正感受生活。～宗萨仁波切